Como encontrar o ângulo entre dois vetores: 12 passos

Em matemática, um vetor é qualquer objeto que tenha um comprimento definível, conhecido como magnitude e direção. Como os vetores não são os mesmos como linhas ou formas padrão, você precisará usar algumas fórmulas especiais para encontrar ângulos entre eles.

Passos

Parte 1 de 2:

Encontrando o ângulo entre dois vetores

1. Anote a fórmula cosseno. Para encontrar o ângulo θ entre dois vetores, comece com a fórmula para encontrar esse cosseno de ângulo. Você pode aprender sobre esta fórmula abaixo, ou apenas anote:

cosθ = ( $\vec{você}$ ${ overtightarrrow {u}}$ • $\vec{V}$ ${ overtightarrrow {v}}$ ) / (|| $\vec{você}$ ${ overtightarrrow {u}}$ || || $\vec{V}$ ${ overtightarrrow {v}}$ ||)

\vec{você}

${ overtightarrrow {u}}$ || meios "o comprimento do vetor

\vec{você}

${ overtightarrrow {u}}$ ."

\vec{você}

${ overtightarrrow {u}}$ •

\vec{V}

${ overtightarrrow {v}}$ é o produto dot (produto escalar) dos dois vetores, explicado abaixo.

Encontre o ângulo entre dois vetores Passo 1

2. Identifique os vetores. Anote todas as informações que você tem sobre os dois vetores. Nós vamos assumir que você só tem a definição do vetor em termos de suas coordenadas dimensionais (também chamadas de componentes). Se você já conhece o comprimento de um vetor (sua magnitude), você poderá pular algumas das etapas abaixo.

Exemplo: o vetor bidimensional

\vec{você}

${ overtightarrrow {u}}$ = (2,2). Vetor

\vec{V}

${ overtightarrrow {v}}$ = (0,3). Estes também podem ser escritos como

\vec{você}

${ overtightarrrow {u}}$ = 2eu + 2J e

\vec{V}

${ overtightarrrow {v}}$ = 0eu + 3J = 3J.

Enquanto o nosso exemplo usa vetores bidimensionais, as instruções abaixo abrem vetores com qualquer número de componentes.

Encontre o ângulo entre dois vetores Passo 3

3. Calcule o comprimento de cada vetor. Imagine um triângulo direito desenhado do componente X do vetor, seu componente Y e o próprio vetor. O vetor forma a hipotenusa do triângulo, então para encontrar seu comprimento, usamos o teorema pitagórico. Como acontece, esta fórmula é facilmente estendida aos vetores com qualquer número de componentes.

||você|| = U₁ + você₂. Se um vetor tiver mais de dois componentes, basta continuar adicionando + u₃ + você₄ + ...

Portanto, para um vetor bidimensional, ||você|| = √ (U₁ + você₂).

Em nosso exemplo, ||

\vec{você}

${ overtightarrrow {u}}$ || = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. ||

\vec{V}

${ overtightarrrow {v}}$ || = √ (0 + 3) = √ (9) = 3.

Encontre o ângulo entre dois vetores Passo 4

4. Calcule o produto dot dos dois vetores. Você já já aprendeu esse método de multiplicar vetores, também chamado de produto escalar.

Para calcular o produto Dot em termos dos componentes dos vetores, multiplique os componentes em cada direção juntos e adicione todos os resultados.

Para programas gráficos de computador, consulte Dicas antes de continuar.

Encontrando o exemplo do produto dot
Em termos matemáticos, $\vec{você}$ ${ overtightarrrow {u}}$ • $\vec{V}$ ${ overtightarrrow {v}}$ = U₁V₁ + você₂V₂, onde u = (u₁, você₂). Se o seu vetor tiver mais de dois componentes, basta continuar adicionando + u₃V₃ + você₄V₄...
Em nosso exemplo, $\vec{você}$ ${ overtightarrrow {u}}$ • $\vec{V}$ ${ overtightarrrow {v}}$ = U₁V₁ + você₂V₂ = (2) (0) + (2) (3) = 0 + 6 = 6. Este é o produto dot do vetor $\vec{você}$ ${ overtightarrrow {u}}$ e $\vec{V}$ ${ overtightarrrow {v}}$ .

Encontre o ângulo entre dois vetores Passo 5

5. Conecte seus resultados na fórmula. Lembrar,

cosθ = (

\vec{você}

${ overtightarrrow {u}}$ •

\vec{V}

${ overtightarrrow {v}}$ ) / (||

\vec{você}

${ overtightarrrow {u}}$ || ||

\vec{V}

${ overtightarrrow {v}}$ ||).

Agora você conhece tanto o produto dot quanto os comprimentos de cada vetor. Digite-os nesta fórmula para calcular o cosseno do ângulo.

Encontrar cosseno com produto de ponto e comprimentos de vetor
Em nosso exemplo, cosθ = 6 / (2√2

3) = 1 / √2 = √2 / 2.

Encontre o ângulo entre dois vetores Passo 6

6. Encontre o ângulo com base no cosseno. Você pode usar a função ArcCos ou COS na sua calculadora para

Encontre o ângulo θ de um valor conhecido cos θ.

Para alguns resultados, você pode resolver o ângulo com base no Círculo da unidade.

Encontrando um ângulo com cosseno
Em nosso exemplo, cosθ = √2 / 2. Entrar "arccos (√2 / 2)" Na sua calculadora para obter o ângulo. Alternativamente, encontre o ângulo θ no círculo da unidade onde cosθ = √2 / 2. Isso é verdade para θ = /₄ ou 45º.
Colocando todos juntos, a fórmula final é:
Ângulo θ = arccosina (( $\vec{você}$ ${ overtightarrrow {u}}$ • $\vec{V}$ ${ overtightarrrow {v}}$ ) / (|| $\vec{você}$ ${ overtightarrrow {u}}$ || || $\vec{V}$ ${ overtightarrrow {v}}$ ||)))

Parte 2 de 2:

Definindo a fórmula ângulo

1. Entender o propósito desta fórmula. Esta fórmula não foi derivada de regras existentes. Em vez disso, foi criado como uma definição de dois produtos de pontos de vetores e o ângulo entre eles. No entanto, esta decisão não foi arbitrária. Com uma olhada para a geometria básica, podemos ver por que esta fórmula resulta em definições intuitivas e úteis.

Os exemplos abaixo usam vetores bidimensionais porque estes são os mais intuitivos de usar. Vetores com três ou mais componentes têm propriedades definidas com a fórmula de caso muito semelhante.

Encontre o ângulo entre dois vetores Passo 8

2. Revise a lei dos cossenos. Pegue um triângulo ordinário, com ângulo θ entre os lados A e B, e lado oposto c. A lei dos cossenos afirma que C = A + B -2ABcos(θ). Isso é derivado com bastante facilidade da geometria básica.

Encontre o ângulo entre dois vetores Passo 9

3. Conecte dois vetores a formar um triângulo. Esboçar um par de vetores 2D em papel, vetores

\vec{uma}

${ overtightarrrow {a}}$ e

\vec{B}

${ overtightarrrow {b}}$ , com ângulo θ entre eles. Desenhe um terceiro vetor entre eles para fazer um triângulo. Em outras palavras, desenhe vector

\vec{C}

${ overtightarrrow {c}}$ de tal modo que

\vec{B}

${ overtightarrrow {b}}$ +

\vec{C}

${ overtightarrrow {c}}$ =

\vec{uma}

${ overtightarrrow {a}}$ . Este vetor

\vec{C}

${ overtightarrrow {c}}$ =

\vec{uma}

${ overtightarrrow {a}}$ -

\vec{B}

${ overtightarrrow {b}}$ .

Encontre o ângulo entre dois vetores Passo 10

4. Escreva a lei dos cossenos para este triângulo. Insira o comprimento do nosso "Triângulo do vetor" lados na lei dos cossenos:

||(a - b)|| = ||uma|| + ||B|| - 2||uma|| ||B||cos(θ)

Encontre o ângulo entre dois vetores Passo 11

5. Escreva este usando os produtos dot. Lembre-se, um produto dot é a ampliação de um vetor projetado em outro. Um produto de ponto de vetor com si mesmo não requer nenhuma projeção, já que não há diferença na direção. Isso significa que

\vec{uma}

${ overtightarrrow {a}}$ •

\vec{uma}

${ overtightarrrow {a}}$ = ||uma||. Use este fato para reescrever a equação:

(

\vec{uma}

${ overtightarrrow {a}}$ -

\vec{B}

${ overtightarrrow {b}}$ ) • (

\vec{uma}

${ overtightarrrow {a}}$ -

\vec{B}

${ overtightarrrow {b}}$ ) =

\vec{uma}

${ overtightarrrow {a}}$ •

\vec{uma}

${ overtightarrrow {a}}$ +

\vec{B}

${ overtightarrrow {b}}$ •

\vec{B}

${ overtightarrrow {b}}$ - 2||uma|| ||B||cos(θ)

Encontre o ângulo entre dois vetores Passo 12

6. Reescreva-o na fórmula familiar. Expanda o lado esquerdo da fórmula, depois simplifique para atingir a fórmula usada para encontrar ângulos.

\vec{uma}

${ overtightarrrow {a}}$ •

\vec{uma}

${ overtightarrrow {a}}$ -

\vec{uma}

${ overtightarrrow {a}}$ •

\vec{B}

${ overtightarrrow {b}}$ -

\vec{B}

${ overtightarrrow {b}}$ •

\vec{uma}

${ overtightarrrow {a}}$ +

\vec{B}

${ overtightarrrow {b}}$ •

\vec{B}

${ overtightarrrow {b}}$ =

\vec{uma}

${ overtightarrrow {a}}$ •

\vec{uma}

${ overtightarrrow {a}}$ +

\vec{B}

${ overtightarrrow {b}}$ •

\vec{B}

${ overtightarrrow {b}}$ - 2||uma|| ||B||cos(θ)

\vec{uma}

${ overtightarrrow {a}}$ •

\vec{B}

${ overtightarrrow {b}}$ -

\vec{B}

${ overtightarrrow {b}}$ •

\vec{uma}

${ overtightarrrow {a}}$ = -2||uma|| ||B||cos(θ)

-2 (

\vec{uma}

${ overtightarrrow {a}}$ •

\vec{B}

${ overtightarrrow {b}}$ ) = -2||uma|| ||B||cos(θ)

\vec{uma}

${ overtightarrrow {a}}$ •

\vec{B}

${ overtightarrrow {b}}$ = ||uma|| ||B||cos(θ)

Vídeo.

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Pontas

Para um plugue rápido e resolver, use esta fórmula para qualquer par de vetores bidimensionais: cosθ = (u₁ • V₁ + você₂ • V₂) / (√ (u₁ • você₂) • √ (v₁ • V₂))).

Se você estiver trabalhando em um programa de computação gráfica, provavelmente se importa apenas com a direção dos vetores, não o seu comprimento. Tire essas etapas para simplificar as equações e acelerar o seu programa:

Normalize cada vetor então o comprimento se torna 1. Para fazer isso, divida cada componente do vetor pelo comprimento do vetor.

Pegue o produto dot dos vetores normalizados em vez dos vetores originais.

Desde o comprimento igual a 1, deixe os termos do comprimento fora de sua equação. Sua equação final para o ângulo é ARCCOS (

\vec{você}

${ overtightarrrow {u}}$ •

\vec{V}

${ overtightarrrow {v}}$ ).

Baseado na fórmula cosseno, podemos descobrir rapidamente se o ângulo é agudo ou obtuso. Comece com cosθ = (

\vec{você}

${ overtightarrrow {u}}$ •

\vec{V}

${ overtightarrrow {v}}$ ) / (||

\vec{você}

${ overtightarrrow {u}}$ || ||

\vec{V}

${ overtightarrrow {v}}$ ||):

O lado esquerdo e os lados direito da equação devem ter o mesmo sinal (positivo ou negativo).

Como os comprimentos são sempre positivos, Cosθ deve ter o mesmo sinal que o produto dot.

Portanto, se o produto dot é positivo, o cosθ é positivo. Estamos no primeiro quadrante do círculo unitário, com θ < π / 2 ou 90º. O ângulo é agudo.

Se o produto dot é negativo, o cosθ é negativo. Estamos no segundo quadrante do círculo unitário, com π / 2 < θ ≤ π ou 90º < θ ≤ 180º. O ângulo é obtuso.

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