4 maneiras de encontrar qualquer termo de uma sequência aritmética

Uma sequência aritmética é qualquer lista de números que diferem, de um para o próximo, por uma quantidade constante. Por exemplo, a lista de números pares, $0, 2, 4, 6, 8$ $0,2,4,6,8,$ ... é uma sequência aritmética, porque a diferença de um número na lista para a próxima é sempre 2. Se você sabe que está trabalhando com uma sequência aritmética, talvez seja solicitado a encontrar o próximo termo de uma determinada lista. Você também pode ser solicitado a preencher uma lacuna onde um termo está faltando. Finalmente, você pode querer saber, por exemplo, o 100º termo, sem realmente escrever todos os 100 termos. Alguns passos simples podem ajudá-lo a fazer qualquer um destes.

Passos

Método 1 de 4:

Encontrando o próximo termo em uma sequência aritmética

1. Encontre a diferença comum para a sequência. Quando você é apresentado com uma lista de números, talvez seja dito que a lista é uma sequência aritmética, ou pode precisar descobrir isso por si mesmo. O primeiro passo é o mesmo em ambos os casos. Selecione os dois primeiros termos consecutivos da lista. Subtrair o primeiro termo do segundo prazo. O resultado é a diferença comum de sua seqüência.

Por exemplo, suponha que você tenha a lista $1, 4, 7, 10, 13$ $1,4,7,10,13$ .... Subtrair $4 - 1$ $4-1$ Para encontrar a diferença comum de 3.
Suponha que você tenha uma lista de termos que diminui, como $25, 21, 17, 13$ $25,21,17,13$ ... Você ainda subtrai o primeiro termo do segundo para encontrar a diferença. Neste caso, isso lhe dá $21 - 25 = - 4$ $21-25 = -4$ . O resultado negativo significa que sua lista está diminuindo à medida que você lê da esquerda para a direita. Você deve sempre verificar se o sinal da diferença corresponde à direção que os números parecem estar indo.

Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Etapa 2

2. Verifique se a diferença comum é consistente. Encontrar a diferença comum para apenas os dois primeiros termos não garante que sua lista seja uma sequência aritmética. Você precisa ter certeza de que a diferença é consistente para toda a lista. Verifique a diferença subtraindo dois termos consecutivos diferentes na lista. Se o resultado for consistente para um ou dois outros pares de termos, você provavelmente terá uma sequência aritmética.

Trabalhando com o mesmo exemplo,

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ ... escolha o segundo e terceiro termos da lista. Subtrair

7 - 4

$7-4$ , e você acha que a diferença ainda é 3. Para confirmar, verifique mais um exemplo e subtraia

13 - 10

$13-10$ , e você acha que a diferença é consistentemente 3. Você pode ter certeza de que está trabalhando com uma sequência aritmética.

É possível que uma lista de números pareça ser uma sequência aritmética com base nos primeiros termos, mas depois falha depois disso. Por exemplo, considere a lista

1, 2, 3, 6, 9

$1,2,3,6,9$ ... A diferença entre o primeiro e o segundo mandato é 1, e a diferença entre os segundos e terceiros é também 1. No entanto, a diferença entre o terceiro e quarto mandatos é 3. Porque a diferença não é comum para a lista inteira, então isso não é uma sequência aritmética.

Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Etapa 3

3. Adicione a diferença comum para o último prazo. Encontrando o próximo mandato de uma sequência aritmética depois que você sabe que a diferença comum é fácil. Basta adicionar a diferença comum ao último termo da lista, e você receberá o próximo número.

Por exemplo, no exemplo de

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ ..., para encontrar o próximo número da lista, adicione a diferença comum de 3 para o último termo determinado. Adicionando

13 + 3

$13 + 3$ resulta em 16, que é o próximo termo. Você pode continuar adicionando 3 para fazer sua lista contanto que você goste. Por exemplo, a lista seria

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25

$1,4,7,17,13,16,19,22,25$ ... Você pode fazer isso contanto que você goste.

Método 2 de 4:

Encontrando um termo interno ausente

1. Verifique se você está começando com uma sequência aritmética. Em alguns casos, você pode ter uma lista de números com prazo em falta no meio. Começar, como antes, verificando se sua lista é uma sequência aritmética. Selecione dois termos consecutivos e encontre a diferença entre eles. Em seguida, verifique isso contra dois outros termos consecutivos na lista. Se as diferenças são as mesmas, você pode presumir que está trabalhando com uma sequência aritmética e prosseguir.

Por exemplo, suponha que você tenha a lista $0, 4$ $0,4$ ,___, $12, 16, 20$ $12,16,20$ ... Comece por subtrair $4 - 0$ $4-0$ Para encontrar uma diferença de 4. Verifique isso contra dois outros termos consecutivos, como $16 - 12$ $16-12$ . A diferença é novamente 4. Você pode continuar.

Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Passo 5

2. Adicione a diferença comum ao termo antes do espaço. Isso é semelhante a adicionar um termo ao final de uma sequência. Encontre o termo que precede imediatamente o espaço em sua seqüência. Este é o "último" número que você conhece. Adicione sua diferença comum a este prazo, para encontrar o número que deve preencher o espaço.

Em nosso exemplo de trabalho,

0, 4

$0,4$ ,____,

12, 16, 20

$12,16,20$ ..., o termo precedendo o espaço é 4, e nossa diferença comum para esta lista também é 4. Então adicione

4 + 4

$4 + 4$ para obter 8, que deve ser o número no espaço em branco.

Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Etapa 6

3. Subtrair a diferença comum do termo seguindo o espaço. Para ter certeza de que você tem a resposta correta, verifique da outra direção. Uma sequência aritmética deve ser consistente em qualquer direção. Se você se mover da esquerda para a direita e adicionar 4, indo na direção oposta, da direita para a esquerda, você faria o oposto e subtraia 4.

No exemplo de trabalho,

0, 4

$0,4$ ,___,

12, 16, 20

$12,16,20$ ..., o termo imediatamente após o espaço é 12. Subtrair a diferença comum de 4 deste termo para encontrar

12 - 4 = 8

$12-4 = 8$ . O resultado de 8 deve preencher o espaço em branco.

Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética passo 7

4. Compare seus resultados. Os dois resultados que você recebe, de adicionar a partir do fundo ou subtraindo do topo deve corresponder. Se eles fizerem, então você encontrou o valor para o termo ausente. Se eles não, então você precisa verificar seu trabalho. Você pode não ter uma verdadeira sequência aritmética.

No exemplo de trabalho, os dois resultados de

4 + 4

$4 + 4$ e

12 - 4

$12-4$ Ambos deram a solução de 8. Portanto, o termo ausente nessa sequência aritmética é 8. A sequência completa é

0, 4, 8, 12, 16, 20

$0,4,8,12,16,20$ ...

Método 3 de 4:

Encontrando o néscimo prazo de uma sequência aritmética

1. Identifique o primeiro termo da sequência. Nem toda seqüência começa com os números 0 ou 1. Olhe para a lista de números que você tem e encontrar o primeiro termo. Este é o seu ponto de partida, que pode ser designado usando variáveis como (1).

É comum trabalhar com sequências aritméticas para usar a variável A (1) para designar o primeiro termo de uma sequência. Você pode, claro, escolher qualquer variável que você gosta, e os resultados devem ser os mesmos.
Por exemplo, dada a sequência $3, 8, 13, 18$ $3,8,13,18$ ..., o primeiro termo é $3$ $3$ , que pode ser designado algebricamente como um (1).

Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Etapa 9

2. Defina sua diferença comum como D. Encontre a diferença comum para a sequência como antes. Neste exemplo de trabalho, a diferença comum é

8 - 3

$8-3$ , que é 5. Verificação com outros termos na sequência fornece o mesmo resultado. Vamos notar esta diferença comum com a variável algébrica d.

Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Etapa 10

3. Use a fórmula explícita. Uma fórmula explícita é uma equação algébrica que você pode usar para encontrar qualquer termo de uma sequência aritmética, sem ter que escrever a lista completa. A fórmula explícita para uma sequência algébrica é

uma (n) = uma (1) + (n - 1) D

$A (n) = A (1) + (N-1) D$ .

O termo A (n) pode ser lido como "o período nº de A," onde N representa qual número na lista que você deseja encontrar e um (n) é o valor real desse número. Por exemplo, se você for solicitado a encontrar o 100º item em uma sequência aritmética, então N será 100. Note que N é 100, neste exemplo, mas um (n) será o valor do 100º termo, não o número 100 próprio.

Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Etapa 11

4. Preencha suas informações para resolver o problema. Usando a fórmula explícita para sua seqüência, preencha as informações que você sabe encontrar o termo que você precisa.

Por exemplo, no exemplo de trabalho

3, 8, 13, 18

$3,8,13,18$ ..., sabemos que um (1) é o primeiro termo 3, e a diferença comum D é 5. Suponha que você seja solicitado a encontrar o 100º termo nessa sequência. Então n = 100, e (n-1) = 99. A fórmula completa explícita, com os dados preenchidos, é então

uma (100) = 3 + (99) (5)

$A (100) = 3 + (99) (5)$ . Isso simplifica para 498, que é o 100º termo dessa sequência.

Método 4 de 4:

Usando a fórmula explícita para encontrar informações adicionais

1. Reorganizar a fórmula explícita para resolver outras variáveis. Usando a fórmula explícita e alguma álgebra básica, você pode encontrar várias informações sobre uma sequência aritmética. Em sua forma original,

uma (n) = uma (1) + (n - 1) D

$A (n) = A (1) + (N-1) D$ , A fórmula explícita é projetada para resolver_n e dar-lhe o néscimo prazo de uma sequência. No entanto, você pode manipular algebricamente essa fórmula e resolver para qualquer uma das variáveis.

Por exemplo, suponha que você tenha o fim de uma lista de números, mas você precisa saber qual foi o começo da sequência. Você pode reorganizar a fórmula para lhe dar $uma (1) = uma (n) - (n - 1) D$ ${ displaystyle A (1) = A (n) - (n-1) d}$
Se você conhece o ponto de partida de uma sequência aritmética e seu ponto final, mas você precisa saber quantos termos estão na lista, você pode reorganizar a fórmula explícita para resolver n. Este seria $n = uma (n) - uma (1) D + 1$ $n = { frac {(n) -a (1)} {d}} + 1$ .
Se você precisar rever as regras básicas da ÁLGEBRA para criar este resultado, confira Aprenda Álgebra ou Simplifique expressões algébricas.

Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Etapa 13

2. Encontre o primeiro termo de uma sequência. Você pode saber que o 50º termo de uma sequência aritmética é de 300, e você sabe que os termos têm aumentado em 7 (a "diferença comum"), mas você quer descobrir qual foi o primeiro termo da sequência. Use a fórmula explícita revisada que resolva para A1 para encontrar sua resposta.

Use a equação

uma (1) = (n - 1) D - uma (n)

$A (1) = (N-1) D-A (n)$ , e preencha as informações que você conhece. Como você sabe que o 50º termo é 300, então n = 50, n-1 = 49 e A (n) = 300. Você também recebe que a diferença comum, D, é 7. Portanto, a fórmula se torna

uma (1) = (49) (7) - 300

$A (1) = (49) (7) -300$ . Isso funciona para

343 - 300 = 43

$343-300 = 43$ . A sequência que você começou em 43 e contou por 7. Portanto, parece com 43,50,57,64,78 ... 293.300.

Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Etapa 14

3. Encontre o comprimento de uma sequência. Suponha que você saiba tudo sobre o início e o fim de uma sequência aritmética, mas você precisa descobrir quanto tempo é. Use a fórmula revisada

n = uma (n) - uma (1) D + 1

$n = { frac {(n) -a (1)} {d}} + 1$ .

Suponha que você saiba que uma determinada seqüência aritmética começa em 100 e aumenta em 13. Você também é informado de que o termo final é 2.856. Para encontrar o comprimento da sequência, use os termos A1 = 100, D = 13 e A (n) = 2856. Insira estes termos na fórmula para dar

n = 2856 - 100 13 + 1

$n = { frac {2856-100} {13}} + 1$ . Se você trabalha isso, você recebe

n = \frac{2756}{13} + 1

$n = { frac {2756} {13}} + 1$ , que é igual a 212 + 1, que é 213. Existem 213 termos nessa sequência.

Esta sequência de amostra seria uma sequência de 100, 113, 126, 139 ... 2843, 2856.

Avisos

Existem diferentes tipos de seqüências de números. Não assuma que uma lista de números é uma sequência aritmética. Verifique sempre pelo menos dois pares de termos, ou de preferência três ou quatro, para encontrar a diferença comum entre os termos.