Como calcular combinações: 8 etapas (com fotos)

Permutações e combinações têm usos em aulas de matemática e na vida diária. Felizmente, eles são fáceis de calcular uma vez que você sabe como. diferente Permutações, Onde a ordem do grupo importa, em combinações, a ordem não importa. Combinações informam quantas maneiras há para combinar um determinado número de itens em um grupo. Para calcular combinações, você só precisa saber o número de itens que você está escolhendo, o número de itens para escolher, e se a repetição é ou não permitida (na forma mais comum desse problema, a repetição é não permitido).

Passos

Método 1 de 2:

Calcular combinações sem repetição

1. Considere um exemplo problema em que a ordem não importa e a repetição não é permitida. Nesse tipo de problema, você não usará o mesmo item mais de uma vez.

Por exemplo, você pode ter 10 livros, e você gostaria de encontrar o número de maneiras de combinar 6 desses livros em sua prateleira. Neste caso, você não Cuidado com o pedido - você só quer saber quais agrupamentos de livros você poderia exibir, supondo que você use apenas qualquer livro uma vez.
Este tipo de problema é frequentemente rotulado como $n C_{R}$ ${} _ {{n}} c _ {{r}}$ , $C (n, R)$ $C (n, r)$ , $(\frac{n}{R})$ ${ binom {n} {r}}$ , ou "n Escolha R".
Em todas essas anotações, $n$ $n$ é o número de itens que você tem que escolher (sua amostra) e $R$ $R$ é o número de itens que você vai selecionar.

2. Conheça a fórmula:

n C_{R} = n! (n - R)! R!

${} _ {{n}} c _ {{r}} = { frac {n!} {(n-r) {(n-r)! r!}}$ .

A fórmula é semelhante a uma para Permutações mas não exatamente o mesmo. Permutações podem ser encontradas usando

n P_{R} = n! (n - R)!

${} _ {{n}} p _ {{r}} = { frac {n!} {(n-r)}}}$ . A fórmula combinada é ligeiramente diferente porque a ordem não é mais importante, portanto, você divide a fórmula de permutações por

n!

$n!$ Para eliminar as despedidas. Você está essencialmente reduzindo o resultado pelo número de opções que seriam consideradas uma permutação diferente, mas a mesma combinação (porque a ordem não importa para combinações).

3. Conecte seus valores para n { displaystyle n} $n$ e

R { displaystyle r} $R$ .

No caso acima, você teria essa fórmula:

n C_{R} = 10! (10 - 6)! 6!

${} _ {{n}} c _ {{r}} = { frac {10!} {(10-6)! 6!}}$ . Isso simplificaria para

n C_{R} = 10! (4!) (6!)

${} _ {{n}} c _ {{r}} = { frac {10!} {(4!) (6!)}}}$ .

4. Resolva a equação para encontrar o número de combinações. Você pode fazer isso com a mão ou com uma calculadora.

Se você tiver uma calculadora disponível, encontre a configuração fatorial e use isso para calcular o número de combinações. Se você estiver usando a Calculadora do Google, clique no X! botão de cada vez depois de inserir os dígitos necessários.

Se você tem que resolver manualmente, tenha em mente que para cada fatorial, Você começa com o número principal dado e, em seguida, multiplica-o pelo próximo menor número, e assim por diante até chegar a 0.

Para o exemplo, você pode calcular 10! com (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1), o que lhe dá 3.628.800. Encontre 4! com (4 * 3 * 2 * 1), o que lhe dá 24. Encontre 6! com (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1), o que lhe dá 720.

Em seguida, multiplique os dois números que adicionam ao total de itens juntos. Neste exemplo, você deve ter 24 * 720, então 17,280 será o seu denominador.

Divida o fatorial do total pelo denominador, conforme descrito acima: 3.628.800 / 17,280.

No exemplo, você teria 210. Isso significa que há 210 maneiras diferentes de combinar os livros em uma prateleira, sem repetição e onde a ordem não importa.

Método 2 de 2:

Calculando combinações com repetição

1. Considere um exemplo problema em que a ordem não importa, mas a repetição é permitida. Nesse tipo de problema, você pode usar o mesmo item mais de uma vez.

Por exemplo, imagine que você vai pedir 5 itens de um menu oferecendo 15 itens - a ordem de suas seleções não importa, e você não se importa de obter múltiplos do mesmo item (ou seja, repetições são permitidas).
Esse tipo de problema pode ser rotulado como $n + R - 1 C_{R}$ ${} _ {{n + r-1}} c _ {{r}}$ . Você geralmente usaria $n$ $n$ para representar o número de opções que você precisa escolher e $R$ $R$ Para representar o número de itens que você vai selecionar. Lembre-se, neste tipo de problema, a repetição é permitida e a ordem não é relevante.
Este é o tipo menos comum e menos compreendido de combinação ou permutação, e geralmente não é ensinado com a frequência. Onde é coberto, muitas vezes também é conhecido como um K-Seleção, A K-Multiset, ou A K-combinação com repetição.

2. Conheça a fórmula:

n + R - 1 C_{R} = (n + R - 1)! (n - 1)! R!

${} _ {{n + r-1}} c _ {{r}} = { frac {(n + r-1)!} {(n-1)! r!}}$ .

3. Conecte seus valores para n { displaystyle n} $n$ e

R { displaystyle r} $R$ .

No exemplo, você teria essa fórmula:

n + R - 1 C_{R} = (15 + 5 - 1)! (15 - 1)! 5!

${} _ {{n + r-1}} c _ {{r}} = { frac {(15 + 5-1)!} {(15-1)! 5!}}$ . Isso simplificaria para

n + R - 1 C_{R} = 19! (14!) (5!)

${} _ {{n + r-1}} c _ {{r}} = { frac {19!} {(14!) (5!)}}}$ .

4. Resolva a equação para encontrar o número de combinações. Você pode fazer isso com a mão ou com uma calculadora.

Para o exemplo de problema, sua solução deve ser 11.628. Existem 11.628 maneiras diferentes que você pode encomendar quaisquer 5 itens de uma seleção de 15 itens em um menu, onde a ordem não importa e repetição é permitida.

Pontas

Algumas calculadoras gráficas oferecem um botão para ajudá-lo a resolver combinações sem repetição rapidamente. Geralmente parece _nC_R. Se a sua calculadora tiver uma, acerte o seu

n

$n$ valor primeiro, então o botão de combinação e, em seguida, o seu

R

$R$ valor.

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