Como diferenciar funções exponenciais

As funções exponenciais são uma categoria especial de funções que envolvem expoentes que são variáveis ou funções. Usando algumas das regras básicas do cálculo, você pode começar, encontrando a derivada de uma função básica como $uma X$ $a ^ {x}$ . Isso então fornece uma forma que você pode usar para qualquer base numérica aumentada para um expoente variável. Expandir este trabalho, você também pode encontrar a derivada de funções onde o expoente é em si uma função. Finalmente, você verá como diferenciar a "Torre Power", uma função especial em que o exponente corresponde à base.

Passos

Parte 1 de 4:

Diferenciando funções gerais exponenciais

1. Comece com uma função exponencial geral. Comece com uma função exponencial básica usando uma variável como a base. Ao calcular a derivada da função geral dessa maneira, você pode usar a solução como modelo para uma família completa de funções semelhantes.

$Y = uma X$ $y = a ^ {{x}}$

2. Pegue o logaritmo natural de ambos os lados. Você precisa manipular a função para ajudar a encontrar uma derivada padrão em termos da variável

X

$X$ . Isso começa tomando o logaritmo natural de ambos os lados, da seguinte maneira:

\ln Y = \ln uma X

$ln y = ln a ^ {{x}}$

3. Elimine o exponente. Usando as regras de logaritmos, essa equação pode ser simplificada para eliminar o expoente. O expoente dentro da função de logaritmo pode ser removido como um múltiplo na frente do logaritmo, da seguinte maneira:

\ln Y = X \ln uma

$ln y = x ln a$

4. Diferenciar os dois lados e simplificar. O próximo passo é diferenciar cada lado em relação a

X

$X$ . Porque

uma

$uma$ é uma constante, então

\ln uma

$ln A$ é também uma constante. A derivada de

X

$X$ simplifica para 1, e o termo desaparece. As etapas são as seguintes:

\ln Y = X \ln uma

$ln y = x ln a$

D D X \ln Y = D D X X \ln uma

${ frac {d} {dx}} ln y = { frac {d} {dx}} x ln a$

\frac{1}{Y} D Y D X = \ln uma D D X X

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a { frac {}} {dx}} x$

\frac{1}{Y} D Y D X = \ln uma * 1

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a * 1$

\frac{1}{Y} D Y D X = \ln uma

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a$

5. Simplificar para resolver o derivativo. Multiplicar os dois lados por y para isolar a derivada. Usando etapas básicas da álgebra, multiplique ambos os lados desta equação por

Y

$Y$ . Isso isolará a derivada de

Y

$Y$ No lado esquerdo da equação. Então lembre-se disso

Y = uma X

$y = a ^ {x}$ , então substitua esse valor no lado direito da equação. As etapas se parecem com isso:

\frac{1}{Y} D Y D X = \ln uma

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a$

D Y D X = Y \ln uma

${ frac {dy} {dx}} = y ln a$

D Y D X = {uma}^{X} \ln uma

${ frac {dy} {dx}} = a ^ {x} ln$

6. Interpretar o resultado final. Recordando que a função original foi a função exponencial

Y = uma X

$y = a ^ {x}$ , Esta solução mostra que a derivada da função exponencial geral é

uma X \ln uma

$a ^ {x} ln a$ .

Isso pode ser expandido para qualquer valor de

uma

$uma$ , Como nos exemplos seguintes:

D D X 2^{X} = 2^{X} \ln 2

${ frac {d} {dx}} 2 ^ {x} = 2 ^ {x} ln 2$

D D X 3^{X} = 3^{X} \ln 3

${ frac {d} {dx}} 3 ^ {x} = 3 ^ {x} ln 3$

D D X 10^{X} = 10^{X} \ln 10

${ frac {d} {dx}} 10 ^ {x} = 10 ^ {x} ln 10$

Parte 2 de 4:

Estendendo a prova para a derivada de e

1. Escolha o exemplo especial. A seção anterior mostrou diferenciar o caso geral de uma função exponencial com qualquer constante como a base. Em seguida, selecione o caso especial em que a base é a constante exponencial

E

$E$ .

$E$ $E$ é a constante matemática que é aproximadamente igual a 2.718.
Para esta derivação, selecione a função especial $Y = E X$ $y = e ^ {x}$ .

2. Use a prova da derivada de função exponencial geral. Recall, a partir da seção anterior, que a derivada de uma função exponencial geral

uma X

$a ^ {x}$ é

uma X \ln uma

$a ^ {x} ln a$ . Aplique este resultado à função especial

E X

$e ^ {x}$ do seguinte modo:

Y = E X

$y = e ^ {x}$

D Y D X = D D X E^{X}

${ frac {dy} {dx}} = { frac {d} {dx}} e ^ {x}$

D Y D X = E^{X} \ln E

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} ln$

3. Simplifique o resultado. Lembre-se que o logaritmo natural é baseado na constante especial

E

$E$ . Portanto, o logaritmo natural de

E

$E$ é apenas 1. Isso simplifica o resultado do derivativo da seguinte forma:

D Y D X = E^{X} \ln E

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} ln$

D Y D X = E^{X} * 1

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} * 1$

D Y D X = E^{X}

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x}$

4. Interpretar o resultado final. Esta prova leva ao caso especial que a derivada da função

E X

$e ^ {x}$ Isso é muito função. Desse modo:

D D X E^{X} = E^{X}

${ frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}$

Parte 3 de 4:

Encontrando a derivada de e com um expoente funcional

1. Defina sua função. Para este exemplo, você encontrará a derivada geral de funções que

E

$E$ levantado para um expoente, quando o expoente em si é uma função de

X

$X$ .

Como exemplo, considere a função $Y = E 2 X + 3$ $y = e ^ {{2x + 3}}$ .

2. Defina a variável você { displaystyle u} $você$ . Esta solução vai envolver a regra da cadeia de derivativos. Lembre-se de que a regra da cadeia se aplica quando você tem uma função,

você (X)

$u (x)$ aninhado dentro de outro,

F (X)

$f (x)$ , Como você tem aqui. A regra da cadeia afirma:

D Y D X = D Y D você * D você D X

${ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}$

Em resumo, você definirá o expoente como uma função separada

você (X)

$u (x)$ .

Para este exemplo, o expoente é a função aninhada

você (X)

$u (x)$ . Assim, para este exemplo:

Y = E você

$y = e ^ {u}$ , e

você = 2 X + 3

$u = 2x + 3$

3. Aplique a regra da cadeia. A regra da cadeia exige que você encontre os derivativos de ambas as funções

Y

$Y$ e

você

$você$ . O derivado resultante é então o produto desses dois.

Os dois derivados separados são:

D Y D você = D D você E^{você} = E^{você}

${ displaystyle { frac {dy} {du}} = { frac {d} {du}} e ^ {u} = e ^ {u}}$ . (Lembre-se de que a derivada de

E X

$e ^ {x}$ é

E X

$e ^ {x}$ .)

D você D X = D D X (2 X + 3) = 2

${ frac {du} {dx}} = { frac {d} {dx}} (2x + 3) = 2$

Depois de encontrar os dois derivados separados, combine-os para encontrar a derivada da função original:

D Y D X = D Y D você * D você D X

${ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}$

D D X E^{2 X + 3} = E^{(2 X + 3)} * 2 = 2 E^{(2 X + 3)}

${ frac {d} {dx}} e ^ {{2x + 3}} = e ^ {{(2x + 3)}} * 2 = 2E ^ {{(2x + 3)}}$

4. Praticar outro exemplo de E { displaystyle e} $E$ com um expoente funcional. Selecione outro exemplo,

Y = E pecado X

$y = e ^ {{ sin x}}$ .

Definir a função aninhada. Nesse caso,

você = pecado X

$u = sin x$ .

Encontre os derivativos das funções

Y

$Y$ e

você

$você$ .

D Y D você = E^{você}

${ frac {dy} {du}} = e ^ {u}$

D você D X = \cos X

${ frac {du} {dx}} = cos x$

Combine usando a regra da cadeia:

Y = E pecado X

$y = e ^ {{ sin x}}$

D Y D X = D Y D você * D você D X

${ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}$

D D X E^{pecado X} = E^{você} * \cos X = E^{pecado X} \cos X

${ frac {d} {dx}} e ^ {{ sin x}} = e ^ {u} * cos x = e ^ {{ sin x}} cos x$

Parte 4 de 4:

Encontrando a derivada de x

1. Defina a função. Para este exemplo especial, às vezes chamado de "Power Tower", escolha a função de tal forma:

$Y = X X$ $y = x ^ {x}$

2. Encontre o logaritmo natural de cada lado. Como antes, a solução aqui começa com o logaritmo natural de cada lado da equação:

\ln Y = \ln (X X)

$ln y = ln (x ^ {x})$

\ln Y = X \ln X

$ln y = x ln x$

3. Tome a derivada de cada lado da equação. No lado direito desta equação, você precisará aplicar a regra do produto de derivativos. Lembre-se de que a regra do produto afirma que, se