Como encontrar a área de um quadrado usando o comprimento de sua diagonal

A fórmula mais comum para a área de uma praça é simples: é o comprimento do lado ao quadrado, ou s. Mas às vezes você só sabe o comprimento da diagonal da praça, correndo entre vértices opostos. Se você estudou triângulos certos, você pode encontrar uma nova fórmula de área que usa essa diagonal como sua única variável.

Passos

Parte 1 de 2:
Encontrando a área da diagonal
  1. Encontre a área de um quadrado usando o comprimento de sua etapa diagonal 3
1. Desenhe seu quadrado. Um quadrado tem quatro lados iguais. Vamos dizer que cada um tem um comprimento de "S".
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    2. Revise a fórmula básica para a área de um quadrado. A área de um quadrado é igual ao seu comprimento vezes sua largura. Desde que cada lado é S, A fórmula é Área = s x s = s. Isso será útil mais tarde.
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    3. Junte-se a dois cantos opostos para fazer uma diagonal. Deixe a medida desta diagonal ser D unidades. Esta diagonal divide o quadrado em dois triângulos direito.
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    4
    Aplique o teorema pitagórico a um dos triângulos. O teorema pitagórico é uma fórmula para encontrar a hipotenusa (lado mais longo) de um triângulo direito: (lado) + (lado dois) = (hipotenusa), ou uma2+B2=C2{ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}. Agora que a praça é dividida ao meio, você pode usar esta fórmula em um dos triângulos certos:
  • Os dois lados mais curtos do triângulo são os lados da praça: cada um tem um comprimento de S.
  • A hipotenusa é a diagonal da praça, D.
  • S2+S2=D2{ displaystyle s ^ {2} + s ^ {2} = d ^ {2}}s ^ {2} + s ^ {2} = d ^ {2}
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    5. Organize a equação, então S está de um lado. Lembre-se que já sabemos que a área da praça é igual a s. Se você puder ficar sozinho no lado, você terá uma nova equação para a área:
  • S2+S2=D2{ displaystyle s ^ {2} + s ^ {2} = d ^ {2}}s ^ {2} + s ^ {2} = d ^ {2}
  • Simplificar: 2S2=D2{ displaystyle 2s ^ {2} = d ^ {2}}2s ^ {2} = d ^ {2}
  • Divida os dois lados por dois: S2=D22{ displaystyle s ^ {2} = { frac {d ^ {2}} {2}}}s ^ {2} = { frac {d ^ {2}} {2}}
  • Área = S2=D22{ displaystyle s ^ {2} = { frac {d ^ {2}} {2}}}s ^ {2} = { frac {d ^ {2}} {2}}
  • Área = D22{ displaystyle { frac {d ^ {2}} {2}}}{ frac {d ^ {2}} {2}}
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    6. Use esta fórmula em um exemplo quadrado. Estas etapas provaram que a área da fórmula = D22{ displaystyle { frac {d ^ {2}} {2}}}{ frac {d ^ {2}} {2}} Funciona para todos os quadrados. Basta ligar o comprimento da diagonal para D e resolver.
  • Por exemplo, digamos que um quadrado tenha uma diagonal que mede 10 cm.


  • Área = 1022{ displaystyle { frac {10 ^ {2}} {2}}}{ frac {10 ^ {2}} {2}}
    = 1002{ displaystyle { frac {100} {2}}}{ frac {100} {2}}
    = 50 centímetros quadrados.
    • Parte 2 de 2:
    Informação adicional
    1. Encontre a diagonal do comprimento de um lado. O teorema pitagórico para um quadrado com lado S e diagonal D dá-lhe a fórmula 2S2=D2{ displaystyle 2s ^ {2} = d ^ {2}}2s ^ {2} = d ^ {2}. Resolva para D Se você conhece os comprimentos laterais e quer encontrar o comprimento da diagonal:
    • 2S2=D2{ displaystyle 2s ^ {2} = d ^ {2}}2s ^ {2} = d ^ {2}
      2S2=D2{ displaystyle { sqrt {2s ^ {2}}} = { sqrt {d ^ {2}}}}{ sqrt {2s ^ {2}}} = { sqrt {d ^ {2}}}
      S2=D{ displaystyle s { sqrt {2}} = d}s { sqrt {2}} = d
    • Por exemplo, se um quadrado tiver lados de 7 polegadas, sua diagonal d = 7 de polegadas, ou cerca de 9.9 polegadas.
    • Se você não tiver uma calculadora, você pode usar 1.4 como uma estimativa para √2.
  • 2. Encontre o comprimento lateral da diagonal. Se você é dado a diagonal e sabe que a diagonal de um quadrado é S2{ displaystyle s { sqrt {2}}}s { sqrt {2}}, você pode dividir ambos os lados por 2{ displaystyle { sqrt {2}}}{ sqrt {2}} para obter S=D2{ displaystyle s = { frac {d} { sqrt {2}}}}s = { frac {d} {{ sqrt {2}}}}.
  • Por exemplo, um quadrado com diagonal de 10cm tem lados com comprimento 102=7.071{ displaystyle { frac {10} { sqrt {2}}} = 7.071}{ frac {10} {{ sqrt {2}}}} = 7.071 cm.
  • Se você precisar encontrar o comprimento lateral e a área da diagonal, você pode usar esta fórmula primeiro, então rapidamente a resposta para obter a área: Área =S2=7.0712=50{ displaystyle = s ^ {2} = 7.071 ^ {2} = 50}= s ^ {2} = 7,071 ^ {2} = 50 centímetros quadrados. Isso é um pouco menos preciso, já que 2{ displaystyle { sqrt {2}}}{ sqrt {2}} é um número irracional que pode levar a erros de arredondamento.
  • 3. Interpretar a fórmula da área. A matemática checaria a área de fórmula = D22{ displaystyle { frac {d ^ {2}} {2}}}{ frac {d ^ {2}} {2}}, Mas há uma maneira de testar isso diretamente? Nós vamos, D2{ displaystyle d ^ {2}}d ^ {2} é a área de um segundo quadrado com a diagonal como um lado. Como a fórmula completa é D22{ displaystyle { frac {d ^ {2}} {2}}}{ frac {d ^ {2}} {2}}, Você pode raciocinar que este segundo quadrado tem exatamente o dobro da área do quadrado original. Você pode testar isso sozinho:
  • Desenhe um quadrado em um pedaço de papel. Certifique-se de que todos os lados são iguais.
  • Medir a diagonal. Desenhe um segundo quadrado usando essa medida como o comprimento do quadrado.
  • Traçar uma cópia do seu primeiro quadrado para que você tenha dois deles. Corte todos os três quadrados.
  • Corte os dois quadrados menores em qualquer formas para que você possa organizá-los para caber dentro do grande quadrado. Eles devem preencher o espaço perfeitamente, mostrando que a área da praça maior é exatamente duas vezes a área do quadrado menor.

    • Vídeo

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    Pontas

    Esta equação simples é usada em muitos campos, incluindo cristalografia, química e arte. Por exemplo, você pode usá-lo para calcular a área da paisagem que você pode ver ao pesquisar, ou ao usar a perspectiva em fotografia ou pintura, medindo a distância que você andou e imaginando uma grade com essa distância como a diagonal.
  • Se você preferir uma abordagem mais visual para a matemática, ou quer aprender como usar gráficos e gráficos na arte, explore o caminho de partícula espírica de spin, ou navegue artigos em Categoria: Imagens do Microsoft Excel, Categoria: Matemática, Categoria: planilhas ou Categoria: Gráficos.
  • Se você não tiver uma calculadora e precisa de uma estimativa mais precisa para a raiz quadrada de 2, existem maneiras de estimar-o à mão. O método Newton-Raphson é um exemplo.
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