Como encontrar a área de um pentágono regular

Um Pentágono é um polígono com cinco lados retos. Quase todos os problemas que você encontrará na aula de matemática cobrirá pentágonos regulares, com cinco lados iguais. Existem duas maneiras comuns de encontrar a área, dependendo de quantas informações você tem.

Passos

Método 1 de 3:
Encontrando a área do comprimento lateral e do apoio
  1. Encontre a área de um Pentágono Regular Passo 1
1. Comece com o comprimento lateral e o apoio. Este método funciona para pentágonos regulares, com cinco lados iguais. Além do comprimento lateral, você precisará do "apótema" do Pentágono. O Apothe é a linha do centro do Pentágono para um lado, cruzando o lado em um ângulo 90º direito.
  • Não confunda o apoio com o raio, que toca um canto (vértice) em vez de um ponto médio. Se você só conhece o comprimento lateral e o raio, pule para o próximo método.
  • Nós vamos usar um exemplo pentágono com comprimento lateral 3 Unidades e Apotem 2 unidades.
  • Encontre a área de um Pentágono regular Passo 2
    2. Divida o Pentágono em cinco triângulos. Desenhe cinco linhas do centro do Pentágono, levando a cada vértice (canto). Agora você tem cinco triângulos.
  • Encontre a área de um Pentágono Regular Passo 3
    3. Calcule a área de um triângulo. Cada triângulo tem um base igual ao lado do pentágono. Também tem um altura igual ao apotion do Pentágono. (Lembre-se, a altura de um triângulo corre de um vértice para o lado oposto, em um ângulo reto.) Para encontrar a área de qualquer triângulo, basta calcular ½ x base x base.
  • Em nosso exemplo, área de triângulo = ½ x 3 x 2 = 3 unidades quadradas.
  • Encontre a área de um Pentágono Regular Passo 4
    4. Multiplique por cinco para encontrar a área total. Nós dividimos o Pentágono em cinco triângulos iguais. Para encontrar a área total, basta multiplicar a área de um triângulo por cinco.
  • Em nosso exemplo, um (pentágono total) = 5 x a (triângulo) = 5 x 3 = 15 unidades quadradas.
    • Método 2 de 3:
    Encontrando a área do comprimento lateral
    1. Encontre a área de um Pentágono Regular Passo 5
    1. Comece com o comprimento lateral. Este método só funciona para pentágonos regulares, que têm cinco lados de igual comprimento.
    • Neste exemplo, usaremos um Pentágono com o comprimento lateral 7 unidades.
  • Encontre a área de um Pentágono Regular Passo 6
    2. Divida o Pentágono em cinco triângulos. Desenhe uma linha do centro do Pentágono para qualquer vértice. Repita isso para cada vértice. Agora você tem cinco triângulos, cada um do mesmo tamanho.
  • Encontre a área de um Pentágono Regular Passo 7
    3. Divida um triângulo ao meio. Desenhe uma linha do centro do Pentágono para a base de um triângulo. Esta linha deve atingir a base em um ângulo 90º direito, dividindo o triângulo em dois triângulos menores iguais.
  • Encontre a área de um Pentágono regular passo 8
    4. Etiquete um dos triângulos menores. Nós já podemos rotular um lados e um ângulo do triângulo menor:
  • O base do triângulo é ½ o lado do pentágono. Em nosso exemplo, isso é ½ x 7 = 3.5 unidades.
  • O ângulo No centro do Pentágono é sempre 36º. (Começando com um centro completo de 360º, você poderia dividir em 10 desses triângulos menores. 360 ÷ 10 = 36, então o ângulo em um triângulo é 36º.)
  • Encontre a área de um Pentágono Regular Passo 9
    5. Calcule a altura do triângulo. O altura deste triângulo é o lado em ângulos retos para a borda do Pentágono, levando ao centro. Podemos usar Trigonometria inicial Para encontrar o comprimento deste lado:
  • Em um triângulo de ângulo direito, o tangente de um ângulo é igual ao comprimento do lado oposto, dividido pelo comprimento do lado adjacente.
  • O lado em frente ao 36º ângulo é a base do triângulo (metade do lado do Pentágono). O lado adjacente ao 36º ângulo é a altura do triângulo.
  • TAN (36º) = oposto / adjacente


  • Em nosso exemplo, bronzeado (36º) = 3.5 / altura
  • Altura X Tan (36º) = 3.5
  • Altura = 3.5 / tan (36º)
  • Altura = (aproximadamente) 4.8 unidades.
  • Encontre a área de um Pentágono Regular Passo 10
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    Encontre a área do triângulo. A área de um triângulo é igual a ½ a base x a altura. (A = ½bh.) Agora que você conhece a altura, conecte esses valores para encontrar a área do seu pequeno triângulo.
  • Em nosso exemplo, área de triângulo pequeno = ½bh = ½ (3.5) (4.8) = 8.4 unidades quadradas.
  • Encontre a área de um Pentágono regular Passo 11
    7. Multiplique para encontrar a área do Pentágono. Um desses triângulos menores cobre 1/10 da área do Pentágono. Para encontrar a área total, multiplique a área do triângulo menor por 10.
  • Em nosso exemplo, a área de todo o Pentágono = 8.4 x 10 = 84 unidades quadradas.
    • Método 3 de 3:
    Usando uma fórmula
    1. Encontre a área de um Pentágono regular Passo 12
    1. Use o perímetro e o apoio. O Apothe é uma linha do centro de um Pentágono, que atinge um lado em um ângulo reto. Se você receber seu comprimento, você pode usar essa fórmula fácil
    • Área de um pentágono regular = PA/ 2, onde P = o perímetro e uma = o apothe.
    • Se você não conhece o perímetro, calcule-o do comprimento lateral: p = 5s, onde s é o comprimento lateral.
  • Encontre a área de um Pentagon Regular Passo 13
    2. Use o comprimento lateral. Se você só conhece o comprimento lateral, use a seguinte fórmula:
  • Área de um Pentágono regular = (5S) / (4tan (36º)), onde S = comprimento lateral.
  • TAN (36º) = √ (5-2√5). Então, se sua calculadora não tiver um "bronzeado" função, use a área da fórmula = (5S) / (4√ (5-2√5)).
  • Encontre a área de um Pentágono regular Passo 14
    3. Escolha uma fórmula que usa apenas raio. Você pode até encontrar a área se você só conhece o raio. Use esta fórmula:
  • Área de um Pentágono regular = (5/2)Rpecado (72º), onde R é o raio.

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    Pontas

    Os exemplos dados aqui usam valores arredondados para tornar a matemática mais simples. Se você medir um polígono real com o comprimento lateral dado, obterá resultados ligeiramente diferentes para os outros comprimentos e área.
  • Pentágonos irregulares, ou pentágonos com lados desiguais, são mais difíceis de estudar. A melhor abordagem é geralmente dividir o Pentágono em triângulos, e somar a área de cada triângulo. Você também pode precisar desenhar uma forma maior ao redor do Pentágono, calcular sua área e subtrair a área do espaço extra.
  • Se possível, use um método geométrico e um método de fórmula e compare os resultados para confirmar que você tem a resposta certa. Você pode obter respostas ligeiramente diferentes se você entrar na fórmula de uma só vez (desde que você não vai ao longo do caminho), mas eles devem estar muito próximos.
  • As fórmulas são derivadas de métodos geométricos, semelhantes aos descritos aqui. Veja se você pode descobrir como chegar a eles. A fórmula do raio é mais difícil de derivar do que as outras (DICA: Você precisará da identidade dobro de ângulo).
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