3 maneiras de fatorar equações algébricas

Na matemática, factoring é o ato de encontrar os números ou expressões que se multiplicam para fazer um determinado número ou equação. Factoring é uma habilidade útil para aprender com o objetivo de resolver problemas de álgebra básicos - a capacidade de fator competentemente se torna quase essencial ao lidar com equações quadráticas e outras formas de polinômios. Factoring pode ser usado para simplificar expressões algébricas para tornar a solução mais simples. Factoring pode até lhe dar a capacidade de eliminar certas respostas possíveis muito mais rapidamente do que você seria capaz de resolver manualmente.

Passos

Método 1 de 3:

Números de factoring e expressões algebricas básicas

1. Entenda a definição de factoring quando aplicada a números únicos. Factoring é conceitualmente simples, mas, na prática, pode provar ser desafiador quando aplicado a equações complexas. Por isso, é mais fácil abordar o conceito de factoring, começando com números simples, depois passe para equações simples antes de finalmente prosseguir para aplicativos mais avançados. Um determinado número Fatores são os números que multiplicam para dar esse número. Por exemplo, os fatores de 12 são 1, 12, 2, 6, 3 e 4, porque 1 × 12, 2 × 6 e 3 × 4 todos iguais 12.

Outra maneira de pensar nisso é que um determinado fatores do número são os números pelos quais é igualmente divisível.
Você pode encontrar todos os fatores do número 60?? Usamos o número 60 para uma grande variedade de fins (minutos em uma hora, segundos em um minuto, etc.) porque é divisível uniformemente por uma ampla gama de números.

Os fatores de 60 são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60.

Imagem intitulada Equações álgebricas do fator 2

2. Entender que expressões variáveis também podem ser fatoradas. Assim como os números solitários podem ser fatorados, também podem variáveis com coeficientes numéricos são fatores. Para fazer isso, basta encontrar os fatores do coeficiente da variável. Saber como fatorar variáveis é útil para simplificar equações algébricas que as variáveis são uma parte de.

Por exemplo, a variável 12x pode ser escrita como um produto dos fatores de 12 e X. Podemos escrever 12x como 3 (4x), 2 (6x), etc., Usando quais fatores de 12 são melhores para nossos propósitos.

Podemos até ir tão longe quanto para fator 12x várias vezes. Em outras palavras, não temos que parar com 3 (4x) ou 2 (6x) - podemos factor 4x e 6x para dar 3 (2 (2x) e 2 (3 (2x), respectivamente. Obviamente, essas duas expressões são iguais.

Imagem intitulada Equações álgebricas do fator 4

3. Aplique a propriedade distributiva da multiplicação para fatorar equações algébricas. Usando seu conhecimento de como forçar números solitários e variáveis com coeficientes, você pode simplificar equações algébricas simples, encontrando fatores que os números e variáveis em uma equação algébrica têm em comum. Geralmente, para tornar a equação o mais simples possível, tentamos procurar pelo maior fator comum. Este processo de simplificação é possível devido à propriedade distributiva de multiplicação, que afirma que para qualquer número A, B e C, A (B + C) = AB + AC.

Vamos tentar um problema de exemplo. Para factor a equação algébrica 12 x + 6, primeiro, vamos tentar encontrar o maior funcionário de 12x e 6. 6 é o maior número que se divide uniformemente em 12x e 6, para que possamos simplificar a equação para 6 (2x + 1).

Este processo também se aplica a equações com negativos e frações. X / 2 + 4, por exemplo, pode ser simplificado para 1/2 (x + 8) e -7x + -21 pode ser fatorado para -7 (x + 3).

Método 2 de 3:

Factoring equações quadráticas

1. Garantir que a equação esteja em forma quadrática (AX + BX + C = 0). Equações quadráticas são da forma AX + BX + C = 0, onde A, B e C são constantes numéricas e A não é igual a 0 (note que um posso igual 1 ou -1). Se você tiver uma equação contendo uma variável (X) que tenha um ou mais termos de X para a segunda potência, você geralmente pode deslocar os termos na equação ao redor usando operações algébricas básicas para obter 0 de um lado de igual e machado, etc. por outro lado.

Por exemplo, vamos considerar a equação algébrica. 5x + 7x - 9 = 4x + X - 18 podem ser simplificados para X + 6x + 9 = 0, que está na forma quadrática.
Equações com maiores poderes de x, como x, x, etc. não pode ser equações quadráticas. São equações cúbicas, equações quáticas e assim por diante, a menos que a equação possa ser simplificada para eliminar estes termos de X acima do poder de 2.

Imagem intitulada Equações álgebricas do fator 5

2. Em equações quadráticas onde a = 1, fator para (x + d) (x + e), onde D × e = C e D + E = B. Se a sua equação quadrática é no formulário x + bx + c = 0 (em outras palavras, se o coeficiente do X termo = 1), é possível (mas não garantido) que um atalho relativamente simples pode ser usado para equação. Encontre dois números que ambos se multipliquem para fazer c e Adicionar para fazer B. Depois de encontrar esses dois números D e E, coloque-os na seguinte expressão: (x + d) (x + e). Esses dois termos, quando multiplicados juntos, produzem sua equação quadrática - em outras palavras, elas são seus fatores da equação quadrática.

Por exemplo, vamos considerar a equação quadrática X + 5x + 6 = 0. 3 e 2 multiplicar juntos para fazer 6 e também somar 5, para que possamos simplificar essa equação para (x + 3) (x + 2).

Pequenas variações neste atalho básico existem para pequenas variações na própria equação:

Se a equação quadrática estiver no formulário X-BX + C, sua resposta está neste formulário: (X - _) (X - _).

Se estiver no formulário X + BX + C, sua resposta é assim: (x + _) (x + _).

Se estiver no formulário X-BX-C, você responder está no formulário (x + _) (x - _).

Nota: Os números nos espaços em branco podem ser frações ou decimais. Por exemplo, a equação X + (21/2) x + 5 = 0 fatores para (x + 10) (x + 1/2).

Imagem intitulada Equações álgebricas do fator Passo 6

3. Se possível, fator por inspeção. Acredite ou não, por equações quadráticas descomplicadas, um dos meios aceitos de factoring é simplesmente examinar o problema, basta considerar possíveis respostas até encontrar o caminho certo. Isso também é conhecido como factoring por inspeção. Se a equação estiver no formulário Ax + BX + C e A>1, sua resposta fatorada será no formulário (DX +/- _) (EX +/- _), onde D e E são constantes numéricas não derrubadas que se multiplicam para fazer um. D ou E (ou ambos) posso ser o número 1, embora isso não seja necessariamente tão. Se ambos são 1, você usou essencialmente o atalho descrito acima.

Vamos considerar um problema de exemplo. 3x - 8x + 4 no início parece intimidar. No entanto, uma vez que percebemos que 3 só tem dois fatores (3 e 1), torna-se mais fácil, porque sabemos que nossa resposta deve estar no formulário (3x +/-) (x +/- _). Neste caso, adicionar um -2 a dois espaços em branco dá a resposta correta. -2 × 3x = -6x e -2 × x = -2x. -6x e -2x Adicionar a -8x. -2 × -2 = 4, para que possamos ver que os termos fatorados entre parênteses se multiplicam para se tornar a equação original.

Imagem intitulada Factor Algebrique Equações Passo 7

4. Resolver completando o quadrado. Em alguns casos, as equações quadráticas podem ser facilmente fatoradas usando uma identidade algébrica especial. Qualquer equação quadrática do formulário X + 2xH + H = (x + h). Então, se, em sua equação, seu valor B é o dobro da raiz quadrada do seu valor C, sua equação pode ser feita medida para (x + (sqrt (c))).

Por exemplo, a equação X + 6x + 9 se encaixa este formulário. 3 é 9 e 3 × 2 é 6. Então, sabemos que a forma fatorada dessa equação é (x + 3) (x + 3), ou (x + 3).

Imagem intitulada Equações álgebricas do fator 8

5. Use fatores para resolver equações quadráticas. Independentemente de como você fornece sua expressão quadrática, uma vez que é fatorada, você pode encontrar possíveis respostas para o valor de X definindo cada fator igual a zero e resolver. Como você está procurando por valores de x que causam sua equação para igualar zero, um valor de x que faz qualquer um dos seus fatores iguais a zero é uma possível resposta para sua equação quadrática.

Vamos voltar para a equação X + 5x + 6 = 0. Esta equação fatorada para (x + 3) (x + 2) = 0. Se qualquer um dos fatores é igual a 0, toda a equação é igual a 0, então nossas possíveis respostas para x são os números que fazem (x + 3) e (x + 2) igual 0. Estes números são -3 e -2, respectivamente.

Imagem intitulada Fator Algebraico Equações Passo 9

6. Verifique suas respostas - algumas delas podem ser estranhas! Quando você encontrou suas respostas possíveis para X, conecte-as em sua equação original para ver se eles são válidos. Às vezes, as respostas que você encontra não fazer com que a equação original seja igual a zero quando conectada. Nós chamamos essas respostas estranho e desconsidere-os.

Vamos conectar -2 e -3 intox + 5x + 6 = 0. Primeiro, -2:

(-2) + 5 (-2) + 6 = 0

4 + -10 + 6 = 0

0 = 0. Isso está correto, então -2 é uma resposta válida.

Agora, vamos tentar -3:

(-3) + 5 (-3) + 6 = 0

9 + -15 + 6 = 0

0 = 0. Isso também é correto, então -3 também é uma resposta válida.

Método 3 de 3:

Factoring outras formas de equações

1. Se a equação estiver na forma A-B, fator para (A + B) (A-B). Equações com dois fator de variáveis diferentemente do que quadráticos básicos. Para qualquer equação A-B onde A e B não se iguale 0, os fatores de equação a (A + B) (A-B).

Por exemplo, a equação 9x - 4Y = (3x + 2Y) (3x - 2Y).

Imagem intitulada Fator Algebrique Equações Passo 11

2. Se a equação estiver na forma A + 2AB + B, fator para (A + B). Note que, se o trinômio estiver no formulário-2ab + B, a forma fatorada é ligeiramente diferente: (a-b).

A equação 4x + 8xy + 4Y pode ser reescrita como 4x + (2 × 2 × 2) XY + 4Y. Agora podemos ver que está na forma correta, para que possamos dizer com confiança de que nossos fatores de equação para (2x + 2Y)

Imagem intitulada Equações álgebricas do fator Etapa 12

3. Se a equação estiver na forma A-B, fator para (A-B) (A + AB + B). Finalmente, ele menciona que cúbicos e mesmo equações de ordem superior podem ser fatorados, embora o processo de factoring rapidamente se torne proibitivamente complicado.

Por exemplo, 8x - 27y fatores para (2x - 3Y) (4x + ((2x) (3Y)) + 9Y)

Vídeo.

Ao usar este serviço, algumas informações podem ser compartilhadas com o YouTube.

Pontas

A-B é fatorável, A + B não é fatorável.

Lembre-se de como fatorar constantes - pode ajudar.

Cuidado com as frações no processo de factoring e trabalhe com eles corretamente e cuidadosamente.

Se você tiver um trinômio no formulário X + BX + (B / 2), o formulário fatorado é (x + (b / 2)). (Você pode ter essa situação enquanto completa o quadrado.)

Lembre-se que A0 = 0 (propriedade de produto zero).