Como encontrar o inverso de uma matriz 3x3

As operações inversas são comumente usadas em álgebra para simplificar o que de outra forma pode ser difícil. Por exemplo, se um problema exige que você divida por uma fração, você pode ser mais facilmente multiplicar por seus recíprocos. Esta é uma operação inversa. Da mesma forma, uma vez que não há operador de divisão para matrizes, você precisa multiplicar pela matriz inversa. Calculando o inverso de uma matriz 3x3 à mão é um trabalho tedioso, mas vale a pena revisar. Você também pode encontrar o inverso usando uma calculadora de grafica avançada.

Passos

Método 1 de 3:
Criando a matriz adjatada para encontrar a matriz inversa
  1. Encontre o inverso de uma matriz 3x3 Passo 1
1. Verifique o determinante da matriz. Você precisa calcular o determinante da matriz como uma etapa inicial. Se o determinante for 0, o seu trabalho será concluído, porque a matriz não tem inversa. O determinante da matriz M pode ser representado simbolicamente como Det (M).
  • Encontre o inverso de uma matriz 3x3 Passo 2
    2. Transpor a matriz original. Transposição significa refletir a matriz sobre a diagonal principal ou equivalente, trocando o (i, j) o elemento e o (j, i) th. Quando você transpor os termos da matriz, você deve ver que a diagonal principal (do canto superior esquerdo para baixo para a direita) é inalterada.
  • Outra maneira de pensar em transpondo é que você reescreva a primeira linha como a primeira coluna, a linha do meio torna-se a coluna do meio e a terceira linha se torna a terceira coluna. Observe os elementos coloridos no diagrama acima e ver onde os números mudaram a posição.
  • Encontre o inverso de uma etapa 3x3 Matrix 3
    3. Encontre o determinante de cada uma das matrizes menores 2x2. Cada item da matriz 3x3 recém-transpostos está associado a uma matriz "menor" 2x2 correspondente. Para encontrar a matriz menor certa para cada termo, primeiro destaque a linha e a coluna do termo que você começa com. Isso deve incluir cinco termos da matriz. Os quatro termos restantes compõem a matriz menor.
  • No exemplo mostrado acima, se você quiser a matriz menor do termo na segunda linha, primeiro coluna, você destaca os cinco termos que estão na segunda linha e a primeira coluna. Os quatro termos restantes são a matriz menor correspondente.
  • Encontre o determinante de cada matriz menor por multiplicando as diagonais e subtraindo, como mostrado.
  • Para mais em matrizes menores e seus usos, veja Entenda os fundamentos das matrizes.
  • Encontre o inverso de uma matriz 3x3 Passo 4
    4. Crie a matriz de cofactores. Coloque os resultados do passo anterior em uma nova matriz de cofactores, alinhando cada determinante matricial com a posição correspondente na matriz original. Assim, o determinante que você calculou a partir do item (1,1) da matriz original vai na posição (1,1). Você deve então inverter o sinal de termos alternados desta nova matriz, seguindo o padrão "CheckerBoard" mostrado.
  • Ao atribuir sinais, o primeiro elemento da primeira linha mantém seu sinal original. O segundo elemento é invertido. O terceiro elemento mantém seu sinal original. Continue com o resto da matriz dessa moda. Observe que os sinais (+) ou (-) no diagrama do tabuleiro de damas não sugerem que o termo final deve ser positivo ou negativo. São indicadores de manter (+) ou inversão (-) qualquer sinal que o número originalmente tivesse.
  • Para uma revisão dos cofactores, veja Entenda os fundamentos das matrizes.
  • O resultado final desta etapa é chamado de matriz adjatada do original. Isto é às vezes referido como a matriz adjunta. A matriz adjuga é notada como adj (m).
  • Encontre o inverso de uma etapa de matriz 3x3 5
    5. Divida cada termo da matriz adjatada pelo determinante. Lembre-se do determinante de M que você calculou no primeiro passo (para verificar se o inverso foi possível). Você agora divide cada termo da matriz por esse valor. Coloque o resultado de cada cálculo no local do termo original. O resultado é o inverso da matriz original.
  • Para a matriz de amostra mostrada no diagrama, o determinante é 1. Portanto, dividir cada prazo da matriz adjatada resulta na própria matriz adjatada. (Você nem sempre será tão sortudo.)
  • Em vez de dividir, algumas fontes representam este passo como multiplicando cada termo de m por 1 / det (m). Matematicamente, estes são equivalentes.
    • Método 2 de 3:
    Usando a redução linear da linha para encontrar a matriz inversa
    1. Encontre o inverso de uma matriz 3x3 Passo 6
    1. Adjacente a matriz de identidade para a matriz original. Escreva a matriz original m, desenhe uma linha vertical à direita e escreva a matriz de identidade à direita daquele. Agora você deve ter o que parece ser uma matriz com três fileiras de seis colunas cada.
    • Lembre-se de que a matriz de identidade é uma matriz especial com 1s em cada posição da diagonal principal do superior esquerdo para baixo para baixo, e 0s em todas as outras posições. Para uma revisão da matriz de identidade e suas propriedades, veja Entenda os fundamentos das matrizes.
  • Encontre o inverso de uma etapa de matriz 3x3 7
    2. Realizar operações de redução de linha linear. Seu objetivo é criar a matriz de identidade no lado esquerdo desta matriz recém-aumentada. Ao executar as etapas de redução de linha à esquerda, você deve executar consistentemente as mesmas operações à direita, que começou como sua matriz de identidade.
  • Lembre-se que as reduções de linha são realizadas como uma combinação de multiplicação escalar e adição ou subtração de linha, a fim de isolar os termos individuais da matriz. Para uma revisão mais completa, veja Row-Reduzir matrizes.


  • Encontre o inverso de uma etapa de matriz 3x3 8
    3. Continue até que você forme a matriz de identidade. Continue repetindo as operações de redução de linha linear até que o lado esquerdo da matriz aumentada exiba a matriz de identidade (diagonal de 1s, com outros termos 0). Quando você atingiu este ponto, o lado direito do divisor vertical será o inverso da sua matriz original.
  • Encontre o inverso de uma matriz 3x3 Passo 9
    4. Escreva a matriz inversa. Copie os elementos agora aparecendo no lado direito do divisor vertical como a matriz inversa.
    • Método 3 de 3:
    Usando uma calculadora para encontrar a matriz inversa
    1. Encontre o inverso de uma etapa de matriz 3x3 10
    1. Selecione uma calculadora com recursos de matriz. Calculadoras simples de 4 funções não poderão ajudá-lo a encontrar o inverso. No entanto, devido à natureza repetitiva dos cálculos, uma calculadora de gráficos avançada, como o Texas Instruments TI-83 ou TI-86, pode reduzir bastante o trabalho.
  • Encontre o inverso de uma etapa de matriz 3x3 11
    2. Digite sua matriz na calculadora. Primeiro, insira a função Matrix da sua calculadora pressionando a tecla Matrix, se você tiver um. Nas calculadoras do Texas Instruments, talvez seja necessário pressionar 2 Matrix.
  • Encontre o inverso de uma etapa de matriz 3x3 12
    3. Selecione o submenu Editar. Para alcançar o submenu, talvez seja necessário usar os botões de seta ou escolha a tecla de função apropriada na parte superior do teclado da sua calculadora, dependendo do layout da sua calculadora.
  • Encontre o inverso de uma etapa de matriz 3x3 13
    4. Selecione um nome para sua matriz. A maioria das calculadoras estão equipadas para trabalhar em qualquer lugar de 3 a 10 matrizes, rotuladas com letras A através de J. Tipicamente, basta escolher [a] para trabalhar com. Bata a tecla Enter depois de fazer sua seleção.
  • Encontre o inverso de uma etapa de matriz 3x3 14
    5. Digite as dimensões da sua matriz. Este artigo está se concentrando em matrizes 3x3. No entanto, a calculadora pode lidar com tamanhos maiores. Digite o número de linhas e pressione ENTER e, em seguida, o número de colunas e digite.
  • Encontre o inverso de uma etapa de matriz 3x3 15
    6. Digite cada elemento da matriz. A tela da calculadora mostrará uma matriz. Se você já trabalhava com a função matricial, a matriz anterior aparecerá na tela. O cursor destacará o primeiro elemento da matriz. Digite o valor da matriz que você deseja resolver e insira. O cursor se moverá automaticamente para o próximo elemento da matriz, sobrescrevendo quaisquer números anteriores.
  • Se você deseja inserir um número negativo, use o botão negativo da sua calculadora (-) e não a tecla menos. A função matricial não lerá o número corretamente.
  • Se necessário, você pode usar as teclas de seta da sua calculadora para pular na matriz.
  • Encontrar o inverso de uma matriz 3x3 Passo 16
    7. Saia da função matricial. Depois de ter inserido todos os valores da matriz, pressione a tecla Quit (ou 2, se necessário). Isso sairá da função Matrix e devolvê-lo para a tela principal da sua calculadora.
  • Encontrar o inverso de uma matriz 3x3 Etapa 17
    8. Use a tecla inversa para encontrar a matriz inversa. Primeiro, reabrir a função matricial e use o botão Nomes para selecionar o rótulo da matriz que você usou para definir sua matriz (provavelmente [a]). Em seguida, pressione a tecla inversa da sua calculadora, X-1{ displaystyle x ^ {- 1}}x ^ {{- 1}}. Isso pode exigir usando o botão 2, dependendo da sua calculadora. Sua tela de tela deve mostrar UMA-1{ displaystyle a ^ {- 1}}A ^ {{- 1}}. Pressione ENTER e a matriz inversa deve aparecer na sua tela.
  • Não use o botão ^ na sua calculadora para tentar inserir um ^ -1 como pressionamentos separados. A calculadora não entenderá esta operação.
  • Se você receber uma mensagem de erro ao inserir a chave inversa, as chances são de que sua matriz original não tenha um inverso. Você pode querer voltar e calcular o determinante para descobrir.
  • Encontre o inverso de uma matriz 3x3 passo 18
    9. Converta sua matriz inversa para respostas exatas. O primeiro cálculo que a calculadora lhe dará é em forma decimal. Isso não é considerado "exato" para a maioria dos propósitos. Você deve converter as respostas decimais à forma fracionária, conforme necessário. (Se você é muito sortudo, todos os seus resultados serão inteiros, mas isso é raro.)
  • Sua calculadora provavelmente tem uma função que irá converter automaticamente os decimais para frações. Por exemplo, usando o TI-86, insira a função matemática e selecione Misc e, em seguida, frac e digite. Os decimais aparecerão automaticamente como frações.
  • Imagem intitulada Calcular Total Custo Passo 1
    10. A maioria das calculadoras gráficas também possui chaves de suporte quadrado (no TI-84 é 2º + x e 2º + -) que podem ser usadas para digitar uma matriz sem usar a função matricial. Nota: A calculadora não formatará a matriz até depois que a tecla Enter / Equals foi usada (i.E. Tudo será uma linha e não bonita).

    • Vídeo

    Ao usar este serviço, algumas informações podem ser compartilhadas com o YouTube.

    Pontas

    Você pode acompanhar estas etapas para encontrar o inverso de uma matriz que contém não apenas números, mas também variáveis, desconhecidas ou até expressões algébricas.
  • Verifique se o seu resultado é preciso, qualquer método que você escolher, por multiplicando M por m. Você deve ser capaz de verificar se m * m = m * m = i. Eu é a matriz de identidade, consistindo de 1s ao longo da diagonal principal e 0s em outro lugar. Se não, você cometeu um erro em algum lugar.
  • Anote todos os seus passos, pois é extremamente difícil encontrar o inverso de uma matriz 3x3 na sua cabeça.
  • Existem programas de computador que elaboram os inversores de matrizes para você, até e incluindo o tamanho das matrizes 30x30.

    • Avisos

    Nem todas as matrizes 3x3 têm inversas. Se o determinante da matriz é igual a 0, então ele não tem um inverso. (Observe que na fórmula que dividimos por Det (M). Divisão por zero não está definida.)
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