Como criar uma junta de apollonian

Uma junta de Apollonian é um tipo de fractal imagem que é formada a partir de uma coleção de círculos cada vez mais encolhidos contidos em um único círculo grande. Cada círculo na junta do Apollonian é tangente para os círculos adjacentes - em outras palavras, os círculos na junta do Apollonian fazem contato em pontos infinitamente pequenos. Nomeado para o Matemático Grego Apolônio de Perga, este tipo de fractal pode ser desenhado (à mão ou por computador) para grau razoável de complexidade, formando uma imagem bonita e impressionante. Veja o passo 1 abaixo para começar.

Passos

Parte 1 de 2:
Entenda os principais conceitos

Para ser perfeitamente claro, se você estiver simplesmente interessado em desenho Uma junta de Apollonian, não é essencial pesquisar os princípios de matemática por trás do fractal. No entanto, se você quiser uma compreensão mais profunda das juntas de Apollonian, é importante entender as definições de vários conceitos que usaremos ao discutir.

  1. Imagem intitulada Criar um Apollonian Gasket Passo 1
1. Definir termos-chave. Os seguintes termos são usados ​​nas instruções abaixo:
  • Junta Apollonian: Um dos vários nomes para um tipo de fractal composto por uma série de círculos aninhados dentro de um grande círculo e tangente para todos os outros nas proximidades. Estes também são chamados "Círculos de soddy" ou "Beijando círculos".
  • Raio de um círculo: a distância do ponto central de um círculo para sua borda. Geralmente atribuído a variável R.
  • Curvatura de um círculo: o inverso positivo ou negativo do raio, ou ± 1 / r. A curvatura é positiva ao lidar com a curvatura externa do círculo e negativa para a curvatura interna.
  • Tangente: um termo aplicado a linhas, aviões e formas que se cruzam em um ponto infinitamente pequeno. Em juntas de Apollonian, isso se refere ao fato de que cada círculo toca em cada círculo próximo a apenas um ponto. Note que não há interseção - formas tangentes não se sobrepõem.
  • Criar um Apollonian Gasket Passo 2
    2. Entender o teorema de Descartes.O teorema de Descartes é uma fórmula que é útil para calcular os tamanhos dos círculos em uma junta de Apollonian. Se definirmos as curvaturas (1 / r) de três círculos como uma, B, e C, respectivamente, o teorema afirma que a curvatura do círculo (ou círculos) Tangente a todos os três, que nós definiremos como D, é: D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A)).
  • Para nossos propósitos, geralmente usamos apenas a resposta que obtemos colocando um sinal de plus na frente da raiz quadrada (em outras palavras, ... + 2 (sqrt (sqrt...))). Por enquanto, é suficiente saber que a forma de subtração da equação tem seus usos em outras tarefas relacionadas.
    • Parte 2 de 2:
    Construindo a junta de Apollonian

    Juntas Apollonian tomam a forma de arranjos fractais bonitos de círculos encolhidos. Matematicamente, as juntas de Apollonian têm complexidade infinita, mas, se você está usando um programa de desenho de computador ou ferramentas tradicionais de desenho, você eventualmente chegará a um ponto em que é impossível desenhar círculos. Note que quanto mais precisamente você desenha seus círculos, mais você será capaz de caber na sua junta.

    1. Criar uma gaxeta Apollonian Passo 3
    1. Reúna suas ferramentas de desenho digital ou analógico. Nos passos abaixo, vamos fazer a nossa própria junta Apollonian. É possível desenhar juntas de Apollonian à mão ou no computador. Em ambos os casos, você vai querer ser capaz de desenhar círculos perfeitamente redondos. Isso é bastante importante. Como todo círculo em uma junta de Apollonian é perfeitamente tangente para os círculos ao lado dele, círculos que são mesmo ligeiramente maísistas podem "jogar fora" seu produto final.
    • Se desenhar a junta em um computador, você precisará de um programa que permita desenhar facilmente círculos de um raio fixo de um ponto central. GFIG, uma extensão de desenho de vetor para o programa de edição de imagens gratuitas GIMP, pode ser usado, como pode uma grande variedade de outros programas de desenho (consulte a seção de materiais para links relevantes). Você também provavelmente precisará de um aplicativo de calculadora e um documento de processador de texto ou um bloco de notas físico para tomar notas sobre curvatures e radii.
    • Para desenhar a junta à mão, você precisará de uma calculadora (sugerida científica ou gráfica), um lápis, bússola, régua (de preferência uma escala com marcas milímetros, papel de gráfico e um bloco de notas para.
  • Criar uma gaxeta Apollonian Passo 4
    2. Comece com um grande círculo. Sua primeira tarefa é fácil - basta desenhar um círculo grande e perfeitamente redondo. Quanto maior o círculo, mais complexa sua junta pode ser, então tente fazer um círculo tão grande quanto o seu papel permite ou tão grande quanto você pode ver facilmente em uma janela no seu programa de desenho.
  • Imagem intitulada Criar um Apollonian Gasket Passo 5
    3. Crie um círculo menor dentro do original, tangente para um lado. Em seguida, desenhe outro círculo dentro do primeiro que é menor que o original, mas ainda bastante grande. O tamanho exato do segundo círculo é com até você - não há tamanho correto. No entanto, para nossos propósitos, vamos desenhar nosso segundo círculo para que atinja exatamente a meio caminho em nosso grande círculo externo. Em outras palavras, vamos desenhar nosso segundo círculo para que seu ponto central seja o ponto médio do raio do grande círculo.
  • Lembre-se que nas juntas de Apollonian, todos os círculos que tocam são tangentes entre si. Se você estiver usando uma bússola para desenhar seus círculos à mão, recrie este efeito colocando o ponto afiado da bússola no ponto médio do raio do grande círculo externo, ajustando seu lápis para que ele somente toca a borda do grande círculo, depois desenhando seu pequeno círculo interno.
  • Criar uma gaxeta Apollonian Passo 6
    4. Desenhe um círculo idêntico "atravessar de" o círculo interior menor. Em seguida, vamos desenhar outro círculo em frente ao nosso primeiro. Este círculo deve ser tangente para o grande círculo externo e o menor círculo interno, o que significa que seus dois círculos internos vão tocar no ponto médio exato do grande círculo externo.
  • Criar um Apollonian Gasket Passo 7
    5. Aplique o teorema de Descartes para encontrar o tamanho de seus próximos círculos. Vamos parar de desenhar por um momento. Agora que temos três círculos em nossa junta, podemos usar o teorema de Descartes para encontrar o raio do próximo círculo vamos desenhar. Lembre-se que o teorema de Descartes é D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A)), onde A, B e C são as curvaturas dos seus três círculos tangentes e D é a curvatura do círculo tangente a todos os três. Então, para encontrar o raio do nosso próximo círculo, vamos encontrar a curvatura de cada um dos círculos que temos até agora para que possamos encontrar a curvatura do próximo círculo, então converter isso para o raio.
  • Vamos definir o raio do nosso círculo externo como 1. Porque os outros círculos estão dentro deste, estamos lidando com sua interior curvatura (em vez de sua curvatura exterior) e, consequentemente, sabemos que sua curvatura é negativa. - 1 / r = -1/1 = -1. A curvatura do grande círculo é -1.
  • Os Radii dos Círculos menores são metade do grande círculo, ou, em outras palavras, 1/2. Como esses círculos estão se tocando e o grande círculo com a borda externa, estamos lidando com a sua exterior curvatura, então suas curvaturas são positivas. 1 / (1/2) = 2. As curvaturas de círculos menores são ambos 2.
  • Agora, sabemos que A = -1, b = 2 e c = 2 para a equação de teorema de Descartes. Vamos resolver para D:
  • D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A))


  • d = -1 + 2 + 2 ± 2 (SQRT (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
  • D = -1 + 2 + 2 ± 2 (SQRT (-2 + 4 + -2))
  • d = -1 + 2 + 2 ± 0
  • d = -1 + 2 + 2
  • D = 3. A curvatura do nosso próximo círculo é 3. Desde 3 = 1 / R, o raio do nosso próximo círculo é 1/3.
  • Criar um Apollonian Gasket Step 8
    6. Crie seu próximo conjunto de círculos. Use o valor do raio que você acabou de encontrar para desenhar seus próximos dois círculos. Lembre-se de que estes serão tangentes para os círculos cujas curvaturas você usou para um, B e C no teorema de Descartes. Em outras palavras, eles serão tangentes para os dois círculos originais e segundos. Para esses círculos serem tangentes para todos os três círculos, você precisará atraí-los nos espaços abertos na parte superior e inferior da área dentro do seu grande círculo original.
  • Lembre-se de que os Radii estes círculos serão iguais a 1/3. Meça 1/3 de volta da borda do círculo externo e, em seguida, desenhe seu novo círculo. Deve ser tangente a todos os três círculos envolventes.
  • Criar uma gaxeta Apollonian Passo 9
    7. Continue nessa moda para continuar adicionando círculos. Porque eles são fractais, as juntas de Apollonian são infinitamente complexas. Isso significa que você pode adicionar círculos menores e menores ao conteúdo do seu coração. Você é limitado só é a precisão de suas ferramentas (ou, se você estiver usando um computador, a capacidade do seu programa de desenho para "mais Zoom"). Cada círculo, não importa quão pequeno, seja tangente a três outros círculos. Para desenhar cada círculo subseqüente na sua junta, conecte as curvaturas dos três círculos que será tangente para o teorema de Descartes. Então, use sua resposta (que será o raio do seu novo círculo) para desenhar seu novo círculo com precisão.
  • Note que a junta que escolhemos desenhar é simétrica, então o raio de um círculo é o mesmo que o círculo correspondente "através disso". No entanto, saiba que nem toda junta de Apollonian é simétrica.
  • Vamos enfrentar mais um exemplo. Digamos que, depois de desenhar nosso último conjunto de círculos, agora queremos desenhar os círculos que são tangentes ao nosso terceiro conjunto, nosso segundo conjunto e nosso grande círculo externo. As curvaturas desses círculos são 3, 2 e -1, respectivamente. Vamos conectar esses números no teorema de Descartes, definindo A = -1, B = 2 e C = 3:
  • D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A))
  • d = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
  • D = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (-2 + 6 + -3))
  • D = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (1))
  • d = -1 + 2 + 3 ± 2
  • D = 2, 6. Nós temos duas respostas! No entanto, porque sabemos que nosso novo círculo será menor do que qualquer um dos círculos é tangente, apenas uma curvatura de 6 (e, portanto, um raio de 1/6) faz sentido.
  • Nossa outra resposta, 2, na verdade refere-se ao círculo hipotético no outro lado do ponto tangente do nosso segundo e terceiro círculos. Este círculo é tangente para ambos esses círculos e para o grande círculo externo, mas iria cruzar os círculos que já desenhamos, para que possamos desconsiderar.
  • Criar uma gaxeta Apollonian Passo 10
    8. Para um desafio, tente fazer uma junta de Apollonian não simétrica, alterando o tamanho do seu segundo círculo. Todas as juntas de Apollonian começam o mesmo - com um grande círculo exterior que atua como a borda do fractal. No entanto, não há razão para que seu segundo círculo necessariamente tem ter 1/2 o raio do primeiro - nós apenas escolhemos fazer isso acima porque é simples e fácil de entender. Por diversão, tente iniciar uma nova junta com um segundo círculo de um tamanho diferente - isso levará a novas avenidas de exploração.
  • Depois de desenhá seu segundo círculo (independentemente do seu tamanho), seu próximo ato deve ser desenhar um ou mais círculos que são tangentes para ele e para o grande círculo externo - não há caminho certo para fazer isso,. Depois disso, você pode usar o teorema de Descartes para determinar os RADII de quaisquer círculos subseqüentes, conforme mostrado acima.

    • Pontas

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